在流形上处处非退化的可积分布。”

    肖宿盯着那行字看了很久，然后在白板上加了一行公式。

    用李代数的结构常量来构造这个分布。

    然后他又借了《李群作用下的动力系统》，读到“轨道类型分解”那一节时，他停了下来。

    这一章写到，如果李群的作用是光滑的，那么流形上的点可以根据迷向子群的共轭类来分类，每一类构成一个光滑子流形。

    这些子流形，就是轨道的“型”。

    肖宿的脑海里闪过一个念头。

    迷向子群，固定某个点的那些群元素构成的子群。

    不同的点，可能有不同类型的迷向子群。

    如果能证明，全局最优解的迷向子群类型是唯一的，或者至少是罕见的，那就可以反过来，先找所有可能的迷向子群类型，然后只搜索那些可能包含全局最优的类型。

    这个想法比他之前设想的“不变量”更精细。

    不变量是标量函数，太粗了。

    迷向子群类型是代数结构，信息量大多了。

    他立刻在笔记本上把这个思路记下来，然后开始推导。

    之后，他用了一整个上午来验证这个思路在简单例子上的可行性。

    他先构造了几个低维的测试函数，每个函数都定义一个简单的李群作用，即旋转群或者平移群。

    然后他计算每个点上的迷向子群，分类，再对比这些分类和函数极值点的分布。

    结果比他预想的要好。

    在旋转对称的函数上，全局最优点恰好是迷向子群最大的那些点，也就是旋转对称性最高的点。

    在平移对称的函数上，全局最优点落在迷向子群平凡的轨道上，也就是没有任何对称性的点。

    两种极端，但都有规律。

    肖宿靠在椅背上，看着白板上密密麻麻的推导，长长地呼出一口气。

    可行。

    至少在简单例子上，可行。

    接下来要做的，是把这套方法推广到一般情况。

    需要证明存在性，需要给出构造算法，需要分析计算复杂度，需要验证在高维非线性系统上的表现……

    事情还很多。

    但最难的关口，已经过了。

    肖宿站起身，活动了一下有些僵硬的肩膀。

    接下来几天，肖宿沿着这个方向不断思考，终于在一个雨天写完了最终的论文。

    他靠在椅背上，盯着屏幕上那篇三十七页的文档，发了几秒钟的呆。

    图书馆的空调不停地散发着冷气，窗外的大雨扑在玻璃墙上，显出一种沉重的压抑。

    手机震了一下。

    是顾清尘的信息。

    “完事没？我在图书馆门口了。”

    肖宿回了个“恩”，关掉计算机，拿起伞出门。

    楼门口，顾清尘撑着伞站在那里，手里拎着两个保温杯，里面装着红枣桂圆茶。

    “走，去我办公室说。”

    他把其中一个杯递给肖宿，“你这几天是不是又熬夜了？刘浩然跟我说，他晚上十二点路过你寝室，看你屋里灯还亮着。”

    肖宿接过保温杯，没接话。

    顾清尘看出他在装傻，无奈的摇了摇头，领着人往办公室去。

    两人穿过雨幕，鞋底踩出一串水花。

    上楼的时候顾清尘又问:“标题想好了？”

    “想好了。”肖宿说。

    “叫什么？”

    “《基于李群轨道分类的高维非线性全局优化方法》。”

    顾清尘点点头，推开办公室的门。

    屋里开着灯，书架上塞满了书，桌上摊着几本翻到一半的期刊。

    顾清尘把保温杯放下，拖过一把椅子坐下，拍了拍旁边的位置:“来，给我看看。”

    肖宿打开计算机，把屏幕转过去。

    办公室里安静下来，只有窗外淅淅沥沥的雨声。

    顾清尘一行一行往下看，偶尔滑动一下鼠标，偶尔停下来盯着某一段出神。

    肖宿靠在窗边喝着茶，目光落在窗外的雨幕上。

    大概过了二十分钟，顾清尘抬起头，表情有点复杂。

    “你这……”他顿了顿，象是在组织语言，“你这不只是解决了一个问题。”

    肖宿没说话。

    顾清尘又低下头，往前翻了几页，再看几行，再翻回去。

    如此反复几次，最后他把鼠标一放，往椅背上一靠，长长地吐了口气。

    “你记不记得埃尔德什那个猜想？”

    肖宿点头。

    埃尔德什是普林斯顿大学的教授，国际非线性