肖宿和陶哲轩一起走向报告厅外的咖啡角。

    路上，他们遇到了舒尔茨。

    “Terence，肖，”舒尔茨打招呼，“在讨论什么？”

    “正要聊压缩感知和数论的交叉，”陶哲轩说，“一起来？”

    舒尔茨眼睛一亮：“当然！”

    三人找了张靠窗的圆桌坐下。

    窗外是普林斯顿的草坪和红砖建筑。

    陶哲轩点了杯美式咖啡，舒尔茨要了拿铁，肖宿喝不惯，只要了一杯水。

    “所以，”陶哲轩先开口，看向肖宿，“你觉得压缩感知的思想可以用到数论中？具体怎么想？”

    肖宿组织了一下语言：

    “素数分布是稀疏的，挛生素数对更是稀疏中的稀疏。传统筛法工具象是在大海捞针，逐个检查每个位置。但压缩感知告诉我们：如果你知道信号有特殊结构，就不需要检查所有位置，只需要一些精心设计的‘测量’就能重建全局。”

    舒尔茨若有所思。

    “这个类比很有意思。但数学上的‘测量’指什么？在压缩感知里，测量是线性投影。在数论里……”

    “可以是某种筛法权函数的构造。”

    肖宿说，“我之前尝试构造权函数来捕捉素数对之间的相关性。但现在，我觉得也许可以设计两种不同的‘测量’。”

    “一种捕捉全局稀疏性，类似于传统筛法给出的素数密度估计。”

    “另一种捕捉局部相关性，专门设计来检测‘间隔为2’这种特殊结构。”

    陶哲轩身体微微前倾。

    “继续说。”

    “假设我们把所有

    肖宿用手指在桌面上虚

    “这可以看作在查找一个稀疏信号。”

    舒尔茨接话。

    “但这个信号太稀疏了，稀疏到传统的L1最小化可能都不够强。”

    “所以需要额外结构，”陶哲轩说，“在压缩感知的最新进展中，我们开始研究‘结构化稀疏’，信号的非零分量不是完全随机分布，而是以某种模式聚集。比如在图象处理中，边缘映射的非零小波系数往往形成连续的曲线。”

    肖宿的眼睛亮了起来：“素数分布可能也有某种隐藏的结构化稀疏模式！不是完全随机，但也不是简单的周期性。。但在局部，我们观察到象素数丛、素数等差数列这样的结构。”

    “那么问题就变成了：如何数学地刻画这种结构？”

    舒尔茨思考着，“群作用？对称性？还是某种更复杂的组合约束？”

    “伪随机性，”肖宿说，“你们证明了素数在某种意义上表现得象随机集，至少在包含等差数列这个性质上是这样。”

    “对，”陶哲轩点头，“但挛生素数问题更精细。它不仅要素数集有某种结构，还要这个结构具有特定的间隔模式。”

    舒尔茨突然说：“也许可以从‘关联函数’的角度思考。在统计物理中，关联函数描述不同位置粒子状态的相互关系。对于素数，我们可以定义某种‘素数—素数关联函数’：给定间隔k，两个数都是素数的概率是多少？”

    肖宿快速心算，“如果素数完全独立随机，那。但实际上，由于整数的乘法结构，这个概率会有偏差。”

    “哈代—李特尔伍德第二猜想，”

    陶哲轩语气激动地说，“他们推测对于固

    肖宿知道这个猜想。。

    这意

    “这个常量C反映了素数之间的正相关性，”舒尔茨说，“就象粒子系统中某种‘吸引’作用。”

    陶哲轩看着肖宿。

    “你的方法是试图用群论描述这种相关性，我觉得可以换个角度：把这种相关性看作某种‘低维结构’。”

    “在压缩感知中，如果一个信号在某个基底下可以表示为少数几个基矢量的组合，我们就说它有低维结构。那么，素数分布是否也有类似的低维表示？”

    肖宿陷入了沉思。

    低维结构……

    这让他想到了上午望月新一的理论。

    望月试图用远阿贝尔几何这种高度结构化的数学工具来描述数域的算术性质。

    虽然他的具体构造有问题，但大方向或许有道理：数域的深层结构可能比我们想象的更“几何”，更“低维”。

    “让我做个大胆的猜测，”

    陶哲轩继续说，语气象是在讨论一个有趣的谜题，“也许存在某个合适的数学空间，不一定是欧几里得空间，可能是某个函数空间，甚至某个抽象的范畴，在这个空间中，素数分布映射于一个低维子流形。而挛生素数条件映射于这个子流形上的一个特殊点集。”

    舒尔茨笑了：“Terence，你这想法太几何了