他的手动的飞快，空白的草稿纸被逐渐填满。

    定义3 (挛生条件)：两个整数n是挛生素数对，当且仅当：

    1. φ(和φ(n)都是X中的“算术奇点”，即映射素数的像；

    其中2是所有p进分量差异的加权和。

    如果n是挛生素

    因为Σ ω(p)发散，所以这个和发散。

    所以3和5在加权度量下的距离是无穷大？

    肖宿皱起眉头。

    不对，这样定义有问题。

    他意识到，如果直接用原始定义，任何两个不同

    加权和自然发散。

    需要修改。

    也许不是所有p都计入？

    也许只有那些对“区分”n有贡献的p才计入？

    肖宿托腮思考了一会儿，他觉得定义2还不够完备。

    所以d(φ(, φ(n))正比于这些p的权重和。

    当n固定时，这个和发散，所以需要正规化。

    减去发散项，留下有限部分。

    肖宿自己曾经在《数学发明》那篇论文中用过类似的技巧：对于素数计数函数的误差项，减去主项后，剩馀部分可以用一个收敛的级数表示。

    在这里也可以用同样的方法。

    这个定义的精妙之处在于，第一项求和是对所有不整除(n)的素数，第二项减去的是所有素数的某种平均。

    肖宿开始估算这个值。

    两者相减后，主项抵消，剩下的是一个收敛级数。

    又卡住了。

    肖宿揉了揉紧绷的太阳穴。

    也许ω(p)需要重新设计。

    也许应

    但这样在之前的有理点估计中就不够用了。

    他陷入了沉思。

    窗外传来远处的汽车声，很轻，象是从另一个世界飘来的。

    等等。

    肖宿突然想到一种可能性。

    也许

    也许挛生素数的本质特征在于，φ(和φ(n)在X中形成某种特殊的“双子结构”，一种在辛几何意义下的配对。

    他想起自己在顾—辛框架中定义的“挛生结构”，那原本是用来描述辛流形上两个互为对偶的子流形的。

    如果把这个概念移植过来...

    挛生结构的定义是设(M, ω)是一个辛流形，L1和L2是两个拉格朗日子流形。

    现在，把X看作一个辛流形。把每个素数p映射的“点”看作一个零维拉格朗日子流形。

    这个辛同胚是什么？

    肖宿放下笔沉思了会儿。

    在X中，这个平移应该映射于一个变换

    T是一个辛同胚吗？在顾—辛框架的辛结构中，平移确实是辛同胚，因为辛形式是平移不变的。

    所以T是辛同胚。

    肖宿继续思考。

    这不可能。

    这有点象辛几何中的某种对偶关系。

    也许这就是关键。

    肖宿开始重新表述问题。

    在顾—辛框架中，任何一个辛流形都有三个基本不变量：旋转守恒量、层次结构指数、可计算性度量。

    对于X这个特殊的辛流形，它的旋转守恒量应该与素数分布有关。

    如果我能够证明，在X中，由挛生素数条件所定义的子集具有非零的旋转守恒量，那么这个守恒量的存在就会强制要求挛生素数有无穷多对，就象角动量守恒强制要求旋转体不能停止一样。

    这个想法让肖宿眼前一亮。

    他继续在纸上推导起来。

    第一步就是构造X上的辛形式。

    这需要用到顾—辛框架中的标准方法，通过对每个p进分量赋予一个权重，然后取某种直和。

    权重系数需要满足某些条件，比如使得Ω是良定义的，即级数收敛，并且使得平移变换保持Ω。

    所以需要衰减得更快。

    好，就用这个。

    第二步是定义挛生结构。

    这是一个辛同胚，因为Ω是平移不变的。

    S也是辛同胚，如果Ω是偶函数的话，这还需要验证，但暂时假设成立。

    这个变换的平方是？

    这不是恒等映射。

    有点乱。

    肖宿意识到，可能还需要更系统的分析。